רוטר - חידה מתמטית, על מלבנים:

יומן פעילות	לוח שנה	מבזקי חדשות	תקנון	RSS	כותרות	כותרות לפי תגובה	ניקוי קוקיז	IP	להורדת אפליקציה
eBay	AliExpress	GearBest	Amazon	Booking	Kiwi	SkyScanner	Trip Advisor

"חידה מתמטית, על מלבנים:"

גירסת הדפסה

קבוצות דיון פיתוח, תיכנות ובניית אתרים נושא #5982	מנהל סגן המנהל מפקח Winner צל"ש מומחה

אשכול מספר 5982

dryice

19:14 19.05.03

חידה מתמטית, על מלבנים:

עבר עריכה לאחרונה בתאריך 22.05.03 בשעה 14:28

LIRANR נתקל בשאלה, והחלטתי שזאת חידה ראויה(ואפילו יש לי פתרון
בשבילה)
נתון מלבן, המלבן מחולק(מרוצף) למלבנים קטנים יותר יותר,
ידוע שלכל אחד מהמלבנים הקטנים יש לפחות צלע אחת באורך שלם,
יש להוכיח כי גם למלבן הגדול יש לפחות צלע אחת באורך שהוא
מפסר שלם(של ס"מ לצורך העניין)

DRYICE

שתף

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

האשכול	מחבר	תאריך כתיבה	מספר
רמז, (לא בטוח כמה הוא יעיל)	dryice	20.05.03 21:25	1
אתה יכול אולי לפרש את הביטוי ?	Dudenland	21.05.03 01:21	2
הפתרון שאני מכיר, הוא ממש מעל רמת תיכון.	dryice	21.05.03 12:19	4
למה?	liranr	21.05.03 12:53	5
אכן התבלבלתי בכתיבה ואני סתם מטעה אנשים	dryice	21.05.03 16:11	6
לא מובן...	Dudenland	21.05.03 22:00	7
יותר מתמטי יותר טוב	liranr	21.05.03 12:18	3
פתרון לחידה.	dryice	22.05.03 14:27	8
יש לי כמה שאלות...	Dudenland	22.05.03 15:06	9
הגוזר זה קצת יותר מסובך, בוא נתחיל מאינטגרל	liranr	22.05.03 15:26	10
נערך.	Quant86	22.05.03 21:24	11
ברור כמו סינית :)	AndreyT	22.05.03 21:26	12
יאנו לעשות אינטרגל על האינטרגל?	shsh1	23.05.03 09:48	13
טוב... הבנתי את הקטע של איך לעשות אינטגרל...	Dudenland	23.05.03 12:58	14
שום דבר, וזה החיסרון בפתרון הזה	liranr	23.05.03 15:22	15
מה זאת אומרת סתם ???	Dudenland	24.05.03 01:25	16
אני אסביר שוב	liranr	24.05.03 09:53	17

dryice

21:25 20.05.03

1. רמז, (לא בטוח כמה הוא יעיל)
בתגובה להודעה מספר 0

הרמז: cos(2pi*x)sin(2pi*y)
יכול להיות שיש פתרון פחות מתמטי מהפתרון שאני מכיר,
אבל זה מה יש.

DRYICE

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

Dudenland

01:21 21.05.03

2. אתה יכול אולי לפרש את הביטוי ?
בתגובה להודעה מספר 1

עבר עריכה לאחרונה בתאריך 21.05.03 בשעה 02:04

זה בטח מעל לרמה תיכוניסטית, ככה שאני לא מכיר את הביטוי הזה...
אני מתכוון לביטוי:

Cos(2ח*x) * Sin(2ח*y)

Dudenland

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

dryice

12:19 21.05.03

4. הפתרון שאני מכיר, הוא ממש מעל רמת תיכון.
בתגובה להודעה מספר 2

עבר עריכה לאחרונה בתאריך 21.05.03 בשעה 12:21

אני קיוויתי, שמישהוא ימצא הוכחה פשוטה.
הביטוי, הוא פונקציה בשני נעלמים, x,y שהם נקודה במישור.
ויש לו את התכונה המעניינת לצרכנו שהפונקציה מקבלת
ערך 0 אם ורק אם לפחות אחד הפרמטרים x,y הוא מספר שלם.
ואילו הפונקציה גם רציפה וגזירה אינסוף פעמים וכל
מה שתרצה שפונקציה תקיים בשביל שתתנהג היטב.

DRYICE
נ.ב

מחר, אני אתן פתרון מלא.

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

liranr

12:53 21.05.03

5. למה?
בתגובה להודעה מספר 4

חשבתי על זה בהתחלה אבל עבור x=1, y=0.25 (שים לב ש-x שלם) הפונקציה
תחזיר 1, שזה ממש לא 0

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

dryice

16:11 21.05.03

6. אכן התבלבלתי בכתיבה ואני סתם מטעה אנשים
בתגובה להודעה מספר 5

פונקצייה שמקיימת מה שתיארתי היא: sin(2pi*x)sin(2pi*y)
והרמז אמור להיות הפונקציה: cos(2pi*x)cos(2pi*y)
והקשר ביניהם.
סליחה על הטעות.

DRYICE

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

Dudenland

22:00 21.05.03

7. לא מובן...
בתגובה להודעה מספר 6

עבר עריכה לאחרונה בתאריך 21.05.03 בשעה 22:07

הביטוי הזה:

Sin(2ח*X) * Sin(2ח*Y)

ישתווה ל-0 כאשר אחד מהשניים, X או Y, יהיו מספרים שלמים, מכיוון ש:

Sin(2ח*X) = Sin(2ח) = Sin(0) = 0

בכל מקרה, אני עדיין לא רואה את הקשר...
הזכרת עניין של גזירה. את מי צריך לגזור, ולפי מה ?
הרי אמרת שהפונקציה הנ"ל היא ביטוי עם שני נעלמים, כלומר הם לא תלויים אחד בשני.
עד עכשיו הכרתי פונקציה שתלויה בנעלם אחד, כלומר היא דו-מימדית, כי מערכת הצירים שלה היא מערכת בעלת ווקטור דו-מימדי, אבל אף פעם לא נתקלתי בפונקציה שמערכת הצירים שלה היא תלת-מימדית, ולכן, אני לא יודע לגזור פונקציה שכזו.
מצטער.

Dudenland

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

liranr

12:18 21.05.03

3. יותר מתמטי יותר טוב
בתגובה להודעה מספר 1

מישהו ניסה להסביר לי משהו עם "אתה הולך ימינה ולמעלה" אבל זה לא
נראה לי מי יודע מה הוכחה.
לגבי הביטוי שהבאת, אני מודה שאני לא רואה איך הוא מתקשר לשאלה עצמה
(מה זה בדיוק x ומה זה y, לא נראה לי סביר שאלה הצלעות)

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

dryice

14:27 22.05.03

8. פתרון לחידה.
בתגובה להודעה מספר 0

נשים לב, שהאינטגרל המשטחי של הפונקציה, cos(2pi*x)cos(2pi*y)
מעל למלבן שיש לו לפחות צלע אחת שלמה הוא אפס.
כמו כן ידוע מהגדרת האינטגרל המשטחי
כי האינטגרל המשטחי מעל משטח כלשהוא, שווה
לסכום האינטגרלים המשטחים מעל משטחים המרצפים את המשטח הגדול,
משום שעל כל תת מלבן האינטגרל המשטחי יוצא אפס,
האינטגרל המשטחי על המלבן הגדול גם הוא יוצא אפס,
וזה אפשרי רק אם יש לו לפחות צלע אחת שלמה.

DRYICE

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

Dudenland

15:06 22.05.03

9. יש לי כמה שאלות...
בתגובה להודעה מספר 8

איך אתה גוזר או מוציא אינטגרל לפונקציה בעלת שני משתנים ?
מה זה אינטגרל משטחי ?
איך אתה מקשר את הפונקציה הזו למלבן ? מה היא מבטאת אצל המלבן ?

Dudenland

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

liranr

15:26 22.05.03

10. הגוזר זה קצת יותר מסובך, בוא נתחיל מאינטגרל
בתגובה להודעה מספר 9

אינטגרל משטחי, או אינטגרל של פונ' בעלת 2 משתנים הוא למעשה אותו
דבר, והוא מבטא את הנפח הכלוא בין הפונקציה לבין מישור ה XY (הגדרה
דומה מאוד לזאת של אינטגרל "רגיל").
בתכלס ניתן (בתנאים מסויימין שהפונקציה מקיימת, לא נכנס לזה - כמעט כל
הפונקציות המעשיות שתעבוד איתם מקיימות את התנאים) לחשב את האינטגרל
המשטחי על ידי שימוש כפול באינטגרל רגיל.
לדוגמא אם אני רוצה לחשב את הנפח מתחת לפונקציה z=x*y , שחסום על ידי המישורים
x=0,y=0,x=1,y=1 אני יבצע את החישוב הבא:

http://rotter.net/User_files/nor/3eccc1db1651c5aa.gif

הרעיון ברור?

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

Quant86

21:24 22.05.03

11. נערך.
בתגובה להודעה מספר 10

עבר עריכה לאחרונה בתאריך 22.05.03 בשעה 21:26

נערך.

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

AndreyT

21:26 22.05.03

12. ברור כמו סינית :)
בתגובה להודעה מספר 10

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

shsh1

09:48 23.05.03

13. יאנו לעשות אינטרגל על האינטרגל?
בתגובה להודעה מספר 10

עדיין....לא הבנתי איך זה קשור למלבן...

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

Dudenland

12:58 23.05.03

14. טוב... הבנתי את הקטע של איך לעשות אינטגרל...
בתגובה להודעה מספר 10

עבר עריכה לאחרונה בתאריך 23.05.03 בשעה 13:01

...לפונקציה בעלת שני משתנים.
אם כך... האינטגרל של הפונקציה המבוקשת, הינו:

integral = {Cos(2ח*x)Cos(2ח*y)}dS
= {0.5 * {Cos(2ח*x - 2ח*y) + Cos(2ח*x + 2ח*y)}}dS
'
Cos(2*חx - 2ח*y) - Cos(2*חx + 2ח*y)
= ----- ----- ----- ---
8ח*ח
'
Sin(2ח*x) * Sin(-2ח*y)
= ----- ----- -
4ח*ח

תקנו אותי אם אני טועה...
המסקנה מהאינטגרל שהתקבל, היא שכמו שנאמר, כאשר אחת מהצלעות הינה מספר שלם, אזי פונקצית האינטגרל מתאפסת.
דבר אחד עוד לא הבנתי:
האינטגרל בעצם מציין את השטח הכלוא בין הפונקציה המקורית, לבין צירי המשתנים, שבמקרה הזה זה נפח, אבל מה מציינת הפונקציה המקורית ?

Dudenland

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

liranr

15:22 23.05.03

15. שום דבר, וזה החיסרון בפתרון הזה
בתגובה להודעה מספר 14

הוא לא מעניק לך איזושהיא תובנה עמוקה ללמה הפתרון נכון.
זאת "סתם" פונקציה שהחלטנו להגדיר, שמקיימת שהנפח הכלוא בינה
לבין מישור ה-XY החסום על ידי מלבן הוא 0 רק אם אחת הצלעות שלמה.
האינטגרל על המלבן הגדול שווה לסכום האינטגרלים על כל המלבנים הקטנים
(זה משפט שאפשר להוכיח), לכן גם האינטגרל על המלבן הגדול הוא 0,
ולכן יש לו צלע שלמה.

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

Dudenland

01:25 24.05.03

16. מה זאת אומרת סתם ???
בתגובה להודעה מספר 15

אתה לא יכול סתם להגדיר פונקציה מסויימת, לעשות לה אינטגרל, ולהסיק מהאינטגרל שהתקבל, מסקנה שנוגעת למלבנים...
זה כמו שאני יעשה את הפונקציה (Sin(X*Y, ויגיד שאם אני אעשה לה אינטגרל, אז אני אוכל להסיק מסקנות מסויימות לגבי כמות העשבים בדשא שלי בקטע X*Y...
איך קשורה הפונקציה המסויימת הזו למלבנים או למלבן, מלבד הקשר שיש לה שני משתנים שכביכול מציינים את הרוחב והגובה של המלבן...?

Dudenland

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

liranr

09:53 24.05.03

17. אני אסביר שוב
בתגובה להודעה מספר 16

אני מגדיר מערכת צירים מסויימת למלבן שלי, נגיד הפינה השמאלית
התחתונה היא הראשית והצירים הם לאורך הצלעות, זה לא ממש משנה.
כעת אני מגדיר לכל נקודה (x,y) במישור את הפונקציה
(P(x,y)=cos(2pi*x)cos(2pi*y , אם נדמיין את הגרף שלה נקבל מעין צורה
משונה ש"מרחפת" מעל ומתחת המלבן שלנו.
כעת אני טוען , שהנפח הכלוא מתחת לפונקציה הזאת החסום ע"י אחד המלבנים
הקטנים הוא 0 אם ורק אם למלבן יש צלע שלמה (הוכחת את זה בעצמך לפני
כמה הודעות).
לכן הנפח הכלוא מתחת לכל מלבן קטן הוא 0, כי לכל מלבן קטן יש צלע שלמה.
הנפח הכלוא מתחת למלבן הגדול, הוא כמובן סכום הנפחים הכלואים מתחת
למלבנים הקטנים, וזה יוצא 0 (האמת היא שכמה שזה הגיוני, זה לא כמובן,
אפשר וצריך להוכיח את זה). לכן יש למלבן הגדול צלע שלמה.

לכן אמרתי שהפונקציה היא "סתם" במרכאות. אני יכול להגדיר על המישור
איזו פונקציה P שבא לי, אבל רק הפונקציה P הספציפית שהגדרתי היא זאת
שתעזור לנו

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד