5y=6x+8
7y+3x=9

איך אני מחשב את ה X ,Y בעזרת מחשב ?

בעצם מה שמעניין אותנו זה כל המקדמים, אני יכול להסתכל
על העסק בתור מטריצה 3 שורות 4 עמודות.
11 2 2 1
2 -2 1 4
1 2 -2 -1

אנו יכולים לבצע פעולות על המטריצה הזאת שלא משנים את הפתרון
שאלו למעשה פעולות שמותר לנו לבצע על משוואות.
אנו יכולים להחליף את הסדר של השורות.
אנו יכולים להכפיל שורה בקבוע, ואנו יכולים לחבר או לחסר שורה
אחת משורה אחרת. קל לראות שכל פעולה כזאת לא משנה באמת
את מערכת המשוואות. ועל כן כל סדרה של פעולות כאלו גם כן בסדר.

אנו נרצה להביא את המטריצה לצורה קנונית כך שתראה כך:
* 0 0 *
* 0 * 0
* * 0 0
זה בעצם נותן לנו פתרון מלא.
בשלב ראשון נאפס את האיברים מתחת לאלכסון הראשי:
* * * *
* * * 0
* * 0 0
נעבור עמודה עמודה, משמאל לימין החל מהשורה השנייה שכן
בשורה הראשונה אין צורך לאפס אף איבר.
נקח שורה ונחסיר ממנה מכפלה כלשהיא של השורה הראשונה
כך שהאיבר הראשון יתאפס, בדוגמא שלנו:
11 2 2 1
2 -2 1 4
1 2 -2 -1
אנו רוצים לאפס את המספר 4, אנו נחסיר מהשורה השניה, 4 פעמים
השורה הראשונה ונקבל את השורה המחודשת:
-42 -10 -7 0
בדומה לשורה השלישית, נחסיר -1 פעמים השורה הראשונה נקבל:
12 4 0 0

אז ממשיכים לאפס עמודה שניה, מתחת לאלכסון.
נשים לב שמשום שכבר אפסנו את העמודה הראשונה מתחת לאלכסון
הפעולות שנעשה לצורך איפוס העמודה השניה, לא ישנו מצב האפסים
בעמודה הראשונה.
במקרה שלנו העמודה השניה התאפסה לבד, פחות עבודה.

אז אנו עובדים הפוך מאפסים את העמודות מעל לאלכסון, החל מהעמודה
הלפני אחרונה(השלישית בדוגמא שלנו) אנו נוסיף מכפלות של השורה
האחרונה בשביל לאפס את העמודה הN מכפלות של השורה הN-i בשביל
לאפס את העמודה הi עבור i מקבל ערכים מ0 עד N-2.
והופ קיבלנו צורה קנונית שזה למעשה פתרון למערכת.