ערכתי לאחרונה בתאריך 07.01.12 בשעה 20:26 בברכה, Deuce
לדעתי נוח לתקוף את ההוכחות האלה בעזרת סדרות קושי.
הסדרה {an} מתכנסת לגבול סופי אמ"ם:
לכל e > 0 קיים N כך שלכל n>m>N מתקיים
ההגדרה לפונקציות סה"כ שקולה, במקום N קח סביבת d ומתקיים fx-fy < e.להוכחה עצמה:
נניח ש-f אינה חסומה בקטע. מכיוון ש-lim x->inf הוא סופי, הרי שקיים t סופי כך שכאשר x -> t הפונקציה הולכת - בלי הגבלת הכלליות - לאינסוף. מכיוון שהפונקציה אינה מתכנסת בנקודה לגבול סופי, אזי תנאי קושי לא מתקיים, דהיינו לכל e > 0 ולכל d קיימות נק' x,y e (M-d, M+d) #Alignment עבורן:
וזאת סתירה לרציפות במ"ש. הנקודה העדינה היחידה היא להראות שאם תנאי קושי מתקיים אז הפונקציה מתכנסת לגבול סופי (כדי להשתמש בכיוון ההפוך בהוכחה), וזאת הוכחה שאמורים להוכיח בקורס עבור סדרות ב-R.
בכל מקרה, יכול להיות שלא למדת את המשפט הזה (וחבל, כי זה אלגנטי), אז אפשרות נוספות היא לתקוף את זה בצורה ישירה:
נניח שהפונקציה הולכת לאינסוף ב-M.
לפי רציפות במ"ש לכל e קיים d כך שלכל x,y בקטע המנוקב מתקיים fx - fy < e.
יהי e0 < 1 וניקח d0 מתאים (הקטע הוא M-d0, M+d0).
ניקח איזשהו x0 בקטע המנוקב ונתבונן ב-f(x0) = N.
מכיוון שהפונקציה הולכת לאינסוף ב-M, אזי קיים d1 שלכל x,y בקטע המנוקב מתקיים fx > N+1 (אותו N ממקודם).
ניקח d2 = min(d0,d1) # Aliignment ונקבל כי כל y בקטע M-d2, M+d2 מקיים f(y) > N+1. ניקח y0 אחד מהקטע.
בסה"כ קיבלנו שעבור x0 (שמקיים f(x0) = N) מתקיים:
|f(x0)-(fy0)| = |N - (N+1)| = 1 > e0
גירסת הדפסה
סגן המנהל
מפקח
Winner
צל"ש
מומחה
