ערכתי לאחרונה בתאריך 16.02.09 בשעה 15:25 בברכה, Deuce
הקבוצה שתיארת לעיל היא הקטע הסגור [0,1].
עוצמתו היא כעוצמת הרצף (א) הגדולה מעוצמת המספרים הטבעיים.אין לי מושג מה הקשר בינה לבין קבוצת המספרים הטבעיים.
קבוצת המספרים הטבעיים היא הקבוצה {0,1,2,3,...} (בהנחה שבדיסקרטית מחשיבים לכם את 0 כמספר טבעי) ואילו פה בכלל מדובר על קטע סגור.
יש הוכחה מאוד יפה לזה, אך אני לא אכנס אליה (אתה אמור ללמוד אותה בקורס בסיסי בקבוצות). דרך אינטואטיבית לחשוב על זה:
קח את האיחוד של הקטעים:
... [-n-1,-n] Union ... Union [0,1] Union ... Union [n,n+1] ...
כלומר אני מחלק את הישר IR לקטעים סגורים.
מספר הקטעים האלה הוא כעוצמת המספרים השלמים.
העוצמה של כל הקטעים שווה, ולכן - מלבד הנקודות בקצוות שלא ממש מפריעות לי אני מקבל ש:
העוצמה של Z היא א0.
העוצמה של IR היא א.
לכן העוצמה של הקטע הזה היא בהכרח א.
בכל מקרה, יש הוכחות הרבה יותר יפות - סתם אינטואיציה.
ועוד קצת אינטואיציה אם אתה ממש מתחיל בחומר הזה:
כל מספר בקטע הסגור הזה ניתן להציג בצורה עשרונית. בפיתוח העשרוני שלו תוכל בקלות להשתמש בכל המספרים הטבעיים ולהגיע למכפלה אינסופית של עוצמות טבעיים:
א0 * א0 * א0
(בכל ביט בייצוג עשרוני יש לך א0 אפשרויות).
כלומר העוצמה בערך תהיה שווה ל-א0 בחזקת א0 שזה א.
או במונחים פשוטים יותר: אפשר להבין למה יש "יותר" מספרים שם.
הכל ברמה מאוד אינטואיטיבית ולא פורמלית, תוכל למצוא שלל מידע באינטרנט.
גירסת הדפסה
סגן המנהל
מפקח
Winner
צל"ש
מומחה
