רוטר - שאלה קצת ''טיפשית'':

יומן פעילות	לוח שנה	מבזקי חדשות	תקנון	RSS	כותרות	כותרות לפי תגובה	ניקוי קוקיז	IP	להורדת אפליקציה
eBay	AliExpress	GearBest	Amazon	Booking	Kiwi	SkyScanner	Trip Advisor

"שאלה קצת ''טיפשית'':"

גירסת הדפסה

קבוצות דיון לימודים, מדע ותרבות נושא #15754	מנהל סגן המנהל מפקח Winner צל"ש מומחה

אשכול מספר 15754

Zippo
חבר מתאריך 26.5.02
7921 הודעות, דרג אמינות חבר זה

14:00 23.11.09

שאלה קצת ''טיפשית'':

אם 2 בחזקת X שווה למספר אי רציונלי כלשהוא, (e, pi או כל מספר אחר...)
האם אני יכול לקבוע משהו לגבי הרציונליות של X?
יהיו מקרים שבהם הוא יהיה רציונלי, למשל 2 בחזקת חצי, שזה שורש 2.
אבל האם יהיו מקרים שבוודאות אני יכול להראות ש-X הוא לא רציונלי?

רמת השכלה: שנה א' מדמ"ח

שתף

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

האשכול	מחבר	תאריך כתיבה	מספר
כן	Yoni	23.11.09 19:18	1
האמת שזה גם עוזר. תודה!	Zippo	23.11.09 19:36	4
דווקא אם יש מספר אי רציונלי מהצד השני של המשוואה	Yoni	23.11.09 23:33	5
לא בהכרח.	Deuce	25.11.09 03:23	7
מה זה מספר רציונאלי ומה זה מספר לא רציונאלי?	כמה עוד	23.11.09 19:25	2
מספר רציונלי ניתן להצגה כשבר m/n	Zippo	23.11.09 19:32	3
תודה, סוף סוף אני יודע מה זה	כמה עוד	24.11.09 07:29	6

Yoni
חבר מתאריך 26.5.02
2305 הודעות, דרג אמינות חבר זה

19:18 23.11.09

1. כן
בתגובה להודעה מספר 0

למשל אם 2 בחזקת X שווה ל-3
אתה יכול להעלות את שני האגפים בחזקת המכנה של X ולקבל ש-2 בחזקה שלמה שווה ל-3 בחזקה שלמה. כמובן שאין מספרים שלמים כאלה, ולכן X אינו רציונאלי.

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

Zippo
חבר מתאריך 26.5.02
7921 הודעות, דרג אמינות חבר זה

19:36 23.11.09

4. האמת שזה גם עוזר. תודה!
בתגובה להודעה מספר 1

למרות ששאלתי אם 2 בחזקת X שווה למספר אי-רציונלי, ו-3 הוא מאד רציונלי...

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

Yoni
חבר מתאריך 26.5.02
2305 הודעות, דרג אמינות חבר זה

23:33 23.11.09

5. דווקא אם יש מספר אי רציונלי מהצד השני של המשוואה
בתגובה להודעה מספר 4

זה נהיה יותר קשה.

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

Deuce
חבר מתאריך 1.9.08
6225 הודעות, דרג אמינות חבר זה

03:23 25.11.09

7. לא בהכרח.
בתגובה להודעה מספר 5

נוכיח למשל שה-X שמקיים ש-2 ב-X שווה שורש5 הוא אי רציונלי.

2^x = Sqrt(5) = 2^(log 2 Sqrt(5))
-->
x = log 2 sqrt(5) = 1/2log 5

כדי למנוע בלבול נדבר רק על לוג לפי בסיס 2. קל להוכיח שלוג 5 הוא אי רציונלי. בשלילה פשוט יוצא ש-2 בחזקת מספר טבעי שווה ל-5 בחזקת מספר טבעי וזה לא הגיוני מטעמי זוגי/אי זוגי. לכן גם חצי כפול לוג 5 הוא אי רציונלי.
מכאן נכליל מיידית למשל שלכל p ראשוני גדול מ-2, מתקיים שהפתרון ל-2 בחזקת איקס שווה לשורשP (אי רציונלי) הוא לוג p. זהו מספר אי רציונלי. זה מיידי כי כל ראשוני (גדול מ-2) הוא בפרט אי זוגי, לכן החזקות תישארנה אי זוגיות ולפי הוכחה של 2 ו-3 תקבל שהלוג שם הוא אי רציונלי.
הכללה מיידית נוספת - נסתכל על האי רציונלים מהצורה x^ 1/n עבור n טבעי כלשהו. נקבל שכדי שאיקס יהיה אי רציונלי מספיק להראות שלוג (על בסיס 2) של x הוא אי רציונלי. אם X לא שלם זה מתקיים, אם X אי זוגי זה מתקיים.

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

כמה עוד

חבר מתאריך 18.11.09
234 הודעות, 11 פידבק, 19 נקודות

19:25 23.11.09

2. מה זה מספר רציונאלי ומה זה מספר לא רציונאלי?
בתגובה להודעה מספר 0

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

Zippo
חבר מתאריך 26.5.02
7921 הודעות, דרג אמינות חבר זה

19:32 23.11.09

3. מספר רציונלי ניתן להצגה כשבר m/n
בתגובה להודעה מספר 2

כאשר m ו- n הם מספרים שלמים.
מספר אי-רציונלי אינו ניתן להצגה כזאת, ובעצם יש לו פיתוח עשרוני אינסופי ללא תבניות שחוזרות על עצמם.
למשל מספרים כמו
e = 2.718
π = 3.14159
1.414 = 2√

וכו'...
יש אינסוף מספרים כאלה...
(ובעצם, לפי ההוכחה של קנטור, האינסופיות של המספרים הממשיים, גדולה יותר מהאינסופיות של הרציונלים)

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

כמה עוד

חבר מתאריך 18.11.09
234 הודעות, 11 פידבק, 19 נקודות

07:29 24.11.09

6. תודה, סוף סוף אני יודע מה זה
בתגובה להודעה מספר 3

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד