נוכיח בשלילה:
יהי R מספר רציונלי, ויהי X מספר אי-רציונלי.
בהכרח קיימים c,d שלמים כך ש: C/D=R (מהגדרת רציונליות)נניח בשלילה כי X+R רציונלי, וקיימים e,f שלמים כך ש:
e/f=X+R
מכאן:
e/f=X+c/d
e/f-c/d=X
(ed-cf)/df=X
ed-cf שלם משום שe d c וf שלמים. וכן df גם הוא שלם.
מכאן X שווה למנת שלמים והוא רציונלי, סתירה!
מ.ש.ל