עוד דוגמא?
y=4x^3+2x^2+4
4 נעלם, את ה3 מביאים לפני הרבה ומכפילים ככה:
4X3x^2
בסופו של דבר יוצא
y1=12x^2+4x

מקווה שתבין את העניין הזה, אם לא תגיד ואני אנסה להסביר שוב

בקשר למתי הפונקציה עולה או יורדת...
תוכל להתחיל בכך שתמצא מתי הפונקציה נמצאת במצב "קריטי", ז"א שהשיפוע שלה בנקודה מסויימת יהיה 0, כך שהפונקציה לא עולה ולא יורדת.
תוכל לעשות זאת ע"י השוואת הנגזרת ל-0.
אם זו פונקציה ריבועית (פרבולה), אז חלק יהיה לך עלייה וחלק ירידה.
ברגע שתציב ערך מצד אחד של הפונקציה בנגזרת תקבל שיפוע שלילי או חיובי.
שיפוע חיובי = פונקציה עולה.
שיפוע שלילי = פונקציה יורדת.

ע"י ידיעת הנקודה הקריטית, תוכל להגדיר את תחום העלייה והירידה של הפונקציה.

ע"פ הפונקציה שנתת:
y=x^2+4x+3

נגזרת:
y'=2x+4

נק' קריטיות:
2x+4=0
x=-2
(הפונקציה לא עולה ולא יורדת בנק' x=-2)
כמובן שאפשר למצוא את ערך ה-Y של הפונקציה בנק' זו ע"י הצבת ערך ה-X במשוואה המקורית.

עכשיו, תוכל לבחור 2 ערכים: אחד גדול ממינוס 2 ואחד קטן ממינוס 2.
(נגיד 0 ומינוס 3)

X=0
y'=2x+4
y'=2(0)+4
y'=4
שיפוע הפונקציה בנק' X=0 הוא 4, ומפני שהוא חיובי אנו יכולים להגיד שהפונקציה עולה כל עוד ערך ה-X של הפונקציה גדול ממינוס 2.

X=-3
y'=2x+4
y'=2(-3)+4
y'=-2
שיפוע הפונקציה בנק' X=-3 הוא מינוס 2, ומפני שהוא שלילי אנו יכולים להגיד שהפונקציה יורדת כל עוד ערך ה-X של הפונקציה קטן ממינוס 2.

לסכם את הכל:

פונקציה עולה:
X>-2
פונקציה יורדת:
X<-2

כאשר יש מונה ומכנה, יש נוסחה מסויימת עפי"ה גוזרים את הפונקציה:
http://rotter.name/User_files/nor/46e0fac61fc1ca22.jpg

למשל, הדוגמאות שנתת:
דוגמא 1:
http://img257.imageshack.us/img257/4504/15rt8.jpg

דוגמא 2:
http://img178.imageshack.us/img178/4733/16zq1.jpg

(מקווה שלא טעיתי איפשהו..)

עכשיו, ע"מ לדעת מתי פונקציה עולה/ יורדת..
במידה והיא אינה פונקציה של קו ישר..
אנו נגזור את הפונקציה, נמצא את נקודות הקיצון ולפי זה נדע..
פונקציה עולה כאשר היא הולכת ונהית גבוהה עם הכיוון החיובי של ציר ה-x, ניקח את הדוגמא שנתת:

מדובר בפרבולה, מקרה פשוט יחסית לפונקציות, זאת מפני שלפרבולה בד"כ יש נק' מינימום או מקסימום אחת בלבד..
http://img178.imageshack.us/img178/6092/17je2.jpg

אם אתה תוהה איך ידעתי את הצורה,
כאשר a חיובי.. הפרבולה 'תחייך'
כאשר a שלילי.. הפרבולה תהיה 'עצובה'.

במידה ומדובר במס' נקודות קיצון וכו'...
ועלינו למצוא את תחומי העלייה והירידה,
בעזרת השוואה נגזרת הפונקציה ל-0, נמצא מס' נקודות קיצון.
נבדוק אם הן מינימום או מקסימום ע"י הצבת ערכים ב-x לפני ואחרי כל נק' שהיא חשודה לקיצון.
למשל, אם x=-1 חשוד לי לקיצון, אני אבדוק בסביבתו ע"י הצבה את x=-2 ואת x=0. אחרי שהצבתי, אבדוק אם התשובה חיובית/ שלילית.
אם התשובה חיובית, אסמן חץ כלפי מעלה בתחום שהצבתי..
אם התשובה שלילית, אסמן חץ כלפי מטה בתחום שהצבתי..

אם יש לי רצף של עלייה ומיד לאחריה ירידה- זאת אומרת שהנק' המדוברת בתחום הינה נק' מקסימום.
אם יש לי רצף של ירידה ומיד אחריה עלייה- זאת אומרת שהנק' המדוברת בתחום היא נק' מינימום.
אם נתקלתי בנקודה שבסביבתה יש רצף של עלייה או רצף של ירידה- זאת אומרת שהנק' חשודה לפיתול ואז הסיפור הוא שונה לגמרי כי אאלץ לבדוק זאת ע"י נגזרת שנייה.