רוטר - שאלה פשוטה יחסית על מרחבים וקטוריים

יומן פעילות	לוח שנה	מבזקי חדשות	תקנון	RSS	כותרות	כותרות לפי תגובה	ניקוי קוקיז	IP	להורדת אפליקציה
eBay	AliExpress	GearBest	Amazon	Booking	Kiwi	SkyScanner	Trip Advisor

"שאלה פשוטה יחסית על מרחבים וקטוריים"

גירסת הדפסה

קבוצות דיון לימודים, מדע ותרבות נושא #12906	מנהל סגן המנהל מפקח Winner צל"ש מומחה

אשכול מספר 12906

Nokia
חבר מתאריך 1.7.02
538 הודעות

16:24 11.04.08

שאלה פשוטה יחסית על מרחבים וקטוריים

ערכתי לאחרונה בתאריך 11.04.08 בשעה 16:27 בברכה, Nokia

אני רוצה לגשת למועד ב' באלגברה לינארית כדי לשפר קצת את הציון ואני מנסה לשחזר קצת את החומר בראש, אבל יש לי משהו שקצת נתקעתי בו והוא נראה לי לא מסובך, פשוט אני לא זוכר איך זה עובד...
נניח שיש לי 2 תתי מרחבים של R3 לצורך העניין , איך אני מוצא את הבסיס של החיתוך שלהם ?
לדוגמה:

(Sp{(-1,4,2),(1,-5,8}
Sp{(1,3,4),(1,3,5)}
חשבתי לפי משפט המימדים להגיע למימד של החיתוך ואז למצוא וקטורים בת"ל לפי הכמות שצריך אבל זה ניחוש.. יש למישהו דרך יותר נורמלית לעשות את זה?

תודה מראש

שתף

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

האשכול	מחבר	תאריך כתיבה	מספר
כן ...	IcqBoy	11.04.08 16:36	1
רגע עשית פה משהו לא הגיוני.. הבאתי 2 תתי מרחבים	Nokia	11.04.08 16:38	2
הדוגמא בסוף סתם ...	IcqBoy	11.04.08 16:39	3
טוב תודה אני אנסה.. לא שמתי לב שזה לא הפיתרון	Nokia	11.04.08 16:40	4
בהצלחה, לא תצליח - אני אדרג אותה כבר מאוחר יותר.	IcqBoy	11.04.08 16:43	5
כן זה ברור... לדרג אני חושב שאני אצליח תודה בכל אופן	Nokia	11.04.08 16:49	6
אתה לא יכול לקבל דבר כזה מפני שהחיתוך אינו ריק.	IcqBoy	11.04.08 16:51	7
אבל אמור להיות בסיס לחיתוך לא ?	Nokia	11.04.08 16:56	8
נו כן, במקרה הכי ''גרוע'' הבסיס הוא וקטור האפס.	IcqBoy	11.04.08 17:00	9
אממ אני לא חושב.. בסיס לא כולל את וקטור ה0	Nokia	11.04.08 17:05	10
לא יודע אם זה כזה קריטי ...	IcqBoy	11.04.08 17:10	11
במקרה שתיארת אין חיתוך..	Nokia	11.04.08 17:15	13
לפי משפט המימדים מימד האיחוד שווה	idan192	11.04.08 17:12	12
זה לא האיחוד זה החיבור ;)	Nokia	11.04.08 17:17	14
מי אמר אבל שהפתרון הוא אפס?	IcqBoy	11.04.08 17:29	15
הא נכון צודק.. טוב טעות שלי תודה על העזרה :)	Nokia	11.04.08 17:33	16

IcqBoy

16:36 11.04.08

1. כן ...
בתגובה להודעה מספר 0

M = Sp {(-1,4,2),(1,-5,8}
L = Sp {(1,3,4),(1,3,5)}
Intersection(M and L) = ?
v = a(-1,4,2) + b(1,-5,8)
v = c{(1,3,4) + d(1,3,5)}
--->
1. -a+b = c+d
2. 4a-5b=3c+3d
3. 2a+8b=4c+5d

אתה פותר את המערכת, בודק כמה משתנים חופשיים יש.
אם יהיו למשל 2 אז הבסיס יורכב משני וקטורים, נניח תקבל:

v = (a,3a,2b+a,b) = a(1,3,1,0) + b(0,0,2,1)

אזי בסיס אפשרי לחיתוך הינו:

{ (1,3,1,0) , (0,0,2,1) }

בהצלחה

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

Nokia
חבר מתאריך 1.7.02
538 הודעות

16:38 11.04.08

2. רגע עשית פה משהו לא הגיוני.. הבאתי 2 תתי מרחבים
בתגובה להודעה מספר 1

ערכתי לאחרונה בתאריך 11.04.08 בשעה 16:39 בברכה, Nokia

של R3 ויצא שהחיתוך זה בR4 אני לא חושב שזה ייתכן.. אמור להיות חיתוך גם בR3

ובכלליות לא חושב ש2 תתי מרחבים ממימד 2 בR3 יתנו חיתוך ממימד 2 כי אז זה אומר שהתתי מרחבים זהים ואני לא חושב שזה המקרה (למרות שזרקתי את המספרים מהראש רק היה חשוב לי ששניהם יהיו בת"ל)

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

IcqBoy

16:39 11.04.08

3. הדוגמא בסוף סתם ...
בתגובה להודעה מספר 2

לא באמת פתרתי.
קח את ה-3 משוואות שבניתי לך, תדרג את המטריצה ותפתור.

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

Nokia
חבר מתאריך 1.7.02
538 הודעות

16:40 11.04.08

4. טוב תודה אני אנסה.. לא שמתי לב שזה לא הפיתרון
בתגובה להודעה מספר 3

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

IcqBoy

16:43 11.04.08

5. בהצלחה, לא תצליח - אני אדרג אותה כבר מאוחר יותר.
בתגובה להודעה מספר 4

ערכתי לאחרונה בתאריך 11.04.08 בשעה 16:45 בברכה, IcqBoy

ובאופן כללי- כמובן שאי אפשר לברוח מהמימדים.
ויותר מזה, אם L ו-M תתי מרחב מוכלים (ממש) במרחב R3 אז גם החיתוך שלהם וגם האיחוד שלהם יהיה מוכל (ממש) ב-R3.

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

Nokia
חבר מתאריך 1.7.02
538 הודעות

16:49 11.04.08

6. כן זה ברור... לדרג אני חושב שאני אצליח תודה בכל אופן
בתגובה להודעה מספר 5

ועוד שאלה קטנה.. מה קורה אם אין לי בהכרח פיתרון למערכת המשוואות ?
נגיד אני מקבל
a+b = c+d
a+b = c+2d

אני חושב שאפשר לקבל דבר כזה עם תתי מרחבים , איך אני מוצא במקרה כזה את החיתוך ?

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

IcqBoy

16:51 11.04.08

7. אתה לא יכול לקבל דבר כזה מפני שהחיתוך אינו ריק.
בתגובה להודעה מספר 6

ערכתי לאחרונה בתאריך 11.04.08 בשעה 16:52 בברכה, IcqBoy

אל תשכח שלכל מרחב וקטורי יש את וקטור האפס.
כלומר תמיד בחיתוך יהיה לך את וקטור האפס.
זאת אומרת:
החיתוך הקטן ביותר יהיה פשוט a=b=c=d=0.

ובכל אופן, בדוגמא שהבאת אתה מקבל פשוט
d=0 ושני משתנים חופשיים.

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

Nokia
חבר מתאריך 1.7.02
538 הודעות

16:56 11.04.08

8. אבל אמור להיות בסיס לחיתוך לא ?
בתגובה להודעה מספר 7

ערכתי לאחרונה בתאריך 11.04.08 בשעה 16:58 בברכה, Nokia

קח דוגמה:
תת מרחב אחד:
(1,1,3)
(3,3,5)
תת מרחב שני:
(1,-1, 2 )
(3,5,7)
a+3b = 2c+3d
a+3b = -c + 5d
3a + 5b = c+7d
יש פה סתירה במערכת משוואות וזה 2 תת מרחבים של R3 ממימד 2 ככה שבבסיס של החיתוך אמור להיות איבר אחד. וקטור האפס מן הסתם נמצא אבל זה טריוויאלי

למשהו כזה התכוונתי

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

IcqBoy

17:00 11.04.08

9. נו כן, במקרה הכי ''גרוע'' הבסיס הוא וקטור האפס.
בתגובה להודעה מספר 8

אם החיתוך הוא אך ורק וקטור האפס אז תקבל כבסיס את:

Basis = { (0,0,0,0) }

זה משהו תקין לחלוטין.
אי אפשר לקבוע מראש מה תהיה התוצאה - צריך לפתור ולדרג את המטריצה.
לכל היותר הבסיס יהיה מורכב משני וקטורים השונים מאפס.
לכל הפחות הבסיס יהיה מורכב מוקטור האפס.

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

Nokia
חבר מתאריך 1.7.02
538 הודעות

17:05 11.04.08

10. אממ אני לא חושב.. בסיס לא כולל את וקטור ה0
בתגובה להודעה מספר 9

כי וקטור האפס תלוי לינארית בקבוצה הריקה (זאת מוסכמה) אז הוא אמור להיזרק במהלך התהליך של יצירת בסיס..
אם רק וקטור האפס מופיע בנפרש אז הבסיס של הנפרש ריק.
אני לא חושב שלמערכת המשוואות הזאת יהיה פיתרון מלבד הטריוויאלי על אף שחיתוך כן אמור להיות.

הדוגמאות האלה הן בדיוק מה שהפריע לי בעניין הזה של מציאת חיתוך

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

IcqBoy

17:10 11.04.08

11. לא יודע אם זה כזה קריטי ...
בתגובה להודעה מספר 10

אין בעייה שהחיתוך יהיה רק טטא.
למשל ניקח מרחב IR2 ונפרוש את ציר ה-X וציר ה-Y ע"י:

M = Sp { (0,1) }
L = Sp { (1,0) }

ברור ש-M ו-L הם תתי מרחב של IR2.
החיתוך הוא:

(0,0) = Sp { (0,0) }

לגבי אם תרשום שהבסיס הוא קבוצה ריקה או וקטור האפס? נראה לי לא קריטי, זה תלוי איך לימדו אותך את זה.

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

Nokia
חבר מתאריך 1.7.02
538 הודעות

17:15 11.04.08

13. במקרה שתיארת אין חיתוך..
בתגובה להודעה מספר 11

גם לא צריך להתייחס למושג של בסיס באמת כי החיתוך הוא ריק, אבל אצלך זה גם מסתדר לפי משפט המימדים. לפי משפט המימדים אם יש 2 תתי מרחבים ממימד 2 לR3והחיבור שלהם הוא כל R3 (במקרה כמו במקרה הנ"ל) אז המימד של הבסיס של החיתוך הוא 1. כלומר צריך להיות איבר מלבד וקטור האפס בבסיס של החיתוך. זה מה שמפריע לי בדוגמה שלי כי אני לא יודע איך למצוא את הבסיס של החיתוך הזה שבהכרח אמור להיות.

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

idan192

17:12 11.04.08

12. לפי משפט המימדים מימד האיחוד שווה
בתגובה להודעה מספר 10

למימד כל איבר פחות החיתוך.
כלומר, החיתוך שאתה מחפש צריך להיות (איחוד-3+3), ככה שכן הגיוני שמימד החיתוך קטן/גדול ממימד כל אחד מהאיברים.
איך מוצאים מימד חיתוך?
אתה שם את כל האיברים על מטריצה ארוכה (אחד מתחת לשני) ומתחיל לדרג. מספר השורות שיוותרו לך זה מימד החיתוך.

עכשיו, באמת מוצאים החיתוך עצמו בהשוואה.
הקטע שכבר נהיה פה בלאגן באשכול אז תגיד לאן הגעת ומה עשית ואנסה לתת כיוון

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

Nokia
חבר מתאריך 1.7.02
538 הודעות

17:17 11.04.08

14. זה לא האיחוד זה החיבור ;)
בתגובה להודעה מספר 12

ערכתי לאחרונה בתאריך 11.04.08 בשעה 17:17 בברכה, Nokia

בכל מקרה את המימד אני יודע אבל אני רוצה בסיס.. ולא הגעתי ליותר מדי תסתכל על הדוגמה האחרונה שלי שנתתי שם 2 תתי מרחבים רק שיש בעיה להשוות אותם.
אולי אתה או ICQBOY תאירו את עיניי למה הדוגמה שלי לא טובה (אולי מסתתרת שם איזו סתירה והוקטורים תלויים לינארית או שלא הבנתי לחלוטין את הדרך של ההשוואה)

הדוגמה אגב בתגובה 8

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

IcqBoy

17:29 11.04.08

15. מי אמר אבל שהפתרון הוא אפס?
בתגובה להודעה מספר 14

a+3b = 2c+3d
a+3b = -c + 5d
3a + 5b = c+7d
2-1. 0 = -3c + 2d
2d = 3c
d = 1.5c
3-3*(2). -4b = (c+7d)-3(5d-c)
-4b = 11.5c -3(6.5) = -8c
b = 2c
1.
a + 6c = 2c+3d;
a = 0.5c
a = 0.5c
b = 2c
d = 1.5c
c = c
v = (a+3b,a+3b,3a + 5b) = (6.5c,6.5c,11.5c) = c(6.5,6.5,11.5) = 2c*(13,13,23)

כלומר הוקטורים בחיתוך נפרשים ע"י

Sp { (13,13,23)*t | t ממשי }

ולכן נבחר כבסיס לחיתוך את

(13,13,23)

אם לא טעיתי בחישוב אז זאת הדרך ואכן יוצא לך מימד של 1.

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

Nokia
חבר מתאריך 1.7.02
538 הודעות

17:33 11.04.08

16. הא נכון צודק.. טוב טעות שלי תודה על העזרה :)
בתגובה להודעה מספר 15

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד