||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|

הוכחה:

|a|<a
-|a|<a<|a|
|b|<b
-|b|<b<|b|

מחבר את שני האישוויונים

-(|a|+|b|)<a+b<|a|+|b|

מכאן

|a+b|<|a|+|b|

עפ"י סעיף זה אם ניקח אישוויון כללי
|x+y|<|x|+|y|
ונציב
x=a+b
y=-b
נקבל
|a+b-b|<|a+b|+|-b|
|a|<|a+b|+|b|
|a|-|b|<|a+b|

נציב שוב בנוסחא הקודמת
x=a+b
y=-a

|a+b-a|<|a+b|+|-a|
|b|<|a+b|+|a|
|b|-|a|<|a+b|

|a|-|b|>-|a+b|
מכאן
-|a+b|<|a|-|b|<|a+b|

מכאן

||a|-|b||<|a+b|

מכאן

||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|

|x-1|<1/100

אזי
|(x-1)/(x+1)|<1/199

הוכחה

|x-1|<1/100

מכאן

99/100<x<101/100

X-תמיד חיובי

|x-1|<1/100

מכאן

-1/100<x-1<1/100

נוסיף לכל אגף

199/100<x+1<201/100

נחלק את שתי האישוויונים בידיעה ש
x+1
תמיד חיובי

-1/199< (x-1)/(x+1) < 1/201

נעבוד על האישוויון שאותו אנו צריכים להוכיח
|(x-1)/(x+1)|<1/199

-1/199< (x-1)/(x+1) < 1/199

מכאן

האישוויון
-1/199< (x-1)/(x+1) < 1/201
מכיל בתוכו את מה שאנו צריכים להוכיח

לכן מש"ל