רוטר - צריך עזרה באיזה תרגיל בחדוא 2..

האשכול	מחבר	תאריך כתיבה	מספר
קח קצת אינטואיציה,	Deuce	02.09.08 19:31	1
אבל איך אתה מראה שהפ' באמת שווה לטיילור שלה כש \|X\|1?	LeeCooper	02.09.08 19:59	3
אה רגע בעצם מה שאני אומר זה	LeeCooper	02.09.08 20:01	4
כן, זה בעצם מה שהשאלה דורשת ...	Deuce	02.09.08 20:22	5
רגע אז מה רע בפ' החדשה שיצרת?	LeeCooper	02.09.08 20:30	6
בוא נבדוק אותה, פשוט לא חשבתי על זה לעומק מספיק ...	Deuce	02.09.08 20:35	7
זה הכי טוב שהצלחתי להגיע:	Deuce	02.09.08 20:46	8

Deuce
חבר מתאריך 1.9.08
6225 הודעות, דרג אמינות חבר זה

19:31 02.09.08

1. קח קצת אינטואיציה,
בתגובה להודעה מספר 0

חשבתי לי בראש על הפונקצייה המוגדרת:

f(x) = e^(-1/x^2), x != 0
0, אחרת

כעת הפונקצייה הנ"ל גזירה אינסוף פעמים וכן הנגזרת ה-Kית של f בנקודה 0 שווה ל-0 לכל K.
כלומר, הטור מתכנס אבל לא לפונקצייה, פרט לנקודה 0.
כעת אמרתי שאולי נמתח אותה באופן הבא:

f(x) = e^(-1/(x-1)^2), |x| < 1
0, אחרת

הפונקציה הזאת גזירה אינסוף פעמים אבל בקצוות +-1 אין התכנסות של הטור אל הפונקצייה (אני חושב).

נותר רק להראות את זה פורמלית, ואם הדוגמא שלי לא תתפוס אז תמתח אותה עד כדי 2, תגדיל אולי את רדיוס ההתכנסות (וזה מותר) ובהכרח ב-+-2 לא תהיה התכנסות ל-0.

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

LeeCooper

חבר מתאריך 14.7.05
2363 הודעות, 1 פידבק, 2 נקודות

19:59 02.09.08

3. אבל איך אתה מראה שהפ' באמת שווה לטיילור שלה כש |X|1?
בתגובה להודעה מספר 1

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

LeeCooper

חבר מתאריך 14.7.05
2363 הודעות, 1 פידבק, 2 נקודות

20:01 02.09.08

4. אה רגע בעצם מה שאני אומר זה
בתגובה להודעה מספר 3

שהפ' כשאיקס בין -1 ל1 היא E במשהו אז יש לה טיילור והיא שווה לה
אבל אם אני מציב 2 בפ' אני אמור לקבל 0
ואם אני מציב 2 בטיילור זה בעצם להציב 2 בפ' של -1 ל1 וזה יוצא משהו אחר

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

Deuce
חבר מתאריך 1.9.08
6225 הודעות, דרג אמינות חבר זה

20:22 02.09.08

5. כן, זה בעצם מה שהשאלה דורשת ...
בתגובה להודעה מספר 4

היא אומרת לך שהטור טיילור מתכנס, כלומר אין בעייה פה של התכנסות אבל היא שואלת האם יכול להיות שלמרות שהטור מתכנס בסביבה מסויימת ולמרות שהוא אכן מתכנס למספר כלשהו בכל נקודה, האם ייתכן שבסביבה אחרת הוא לא יתכנס לפונקצייה.
מן הסתם לא פשוט למצוא דוגמא נגדית כי אם הפונקציה היא אקספונינציאלית או טריגונומטרית אז היא מתכנסת בכל נקודה. ואם למשל ניקח פונקצייה בינומיאלית אז היא מתכנסת בטווח |x| קטן מ-1 בגלל שאח"כ השארית מתבדרת לאינסוף.
פה המטרה גם למצוא שהטור מתכנס ואפילו לפונקצייה בסביבה בין -1 ל-1 אבל ב-2 לא.

אני אחזיר לך תשובה עוד כמה דקות אם מצאתי פונקצייה מדוייקת עם הוכחה.

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

LeeCooper

חבר מתאריך 14.7.05
2363 הודעות, 1 פידבק, 2 נקודות

20:30 02.09.08

6. רגע אז מה רע בפ' החדשה שיצרת?
בתגובה להודעה מספר 5

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

Deuce
חבר מתאריך 1.9.08
6225 הודעות, דרג אמינות חבר זה

20:35 02.09.08

7. בוא נבדוק אותה, פשוט לא חשבתי על זה לעומק מספיק ...
בתגובה להודעה מספר 6

f(x) = e^(-1/(x-1)^2), |x| < 1
0, אחרת

יש בעייה עם הטיילור שלה כי אנחנו מפתחים אותו סביב ה-0 וב-0 הטיילור הוא לא זהותית 0, אז יהיה פשוט קשה להוכיח את זה גם אם זה נכון.

אולי תצליח למצוא - אני מחפש פונקצייה כזאת שהנגזרת שלה מכל סדר ב-K תהיה 0 ונניח בקטע [1,1-] היא תהיה זהותית 0 ומחוץ לו (או לפחות ב-2) היא תהיה שונה מ-0.

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

Deuce
חבר מתאריך 1.9.08
6225 הודעות, דרג אמינות חבר זה

20:46 02.09.08

8. זה הכי טוב שהצלחתי להגיע:
בתגובה להודעה מספר 6

http://rotter.name/User_files/nor/48bd7ada03ca8d96.jpg
(מה שעשיתי שם עם הטור זה לא נכון אבל הדוגמא טובה)
ערכתי גם חיפוש והיא אכן פונקצייה גזירה אינסוף פעמים (SMOOTH):
http://en.wikipedia.org/wiki/Bump_function
היא גם באמת לא אנליטית (כלומר הטיילור לא שווה לפונקצייה בכל סביבה).

נראה לי קצת קשה להוכיח את זה לחדו"א2 אבל זה מה שהצלחתי

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד