כלומר לעובדה שהבינום שלם.
אני מאוד מעדיף את ההוכחה הקומבינטורית כי ככה הבינום נבנה, ולכן להוכיח אלגברית יהיה לא אלגנטי במיוחד. איך שלא תסתכל על זה, זה קצת עקום כי אתה בונה אותה בצורה קומבינטורית. בזהירות אני אתן הוכחה אפשרית, נוכיח באינדוקציה בעזרת השימוש בנוסחת פסקל:
C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)
את הנוסחא הזאת אפשר להוכיח שוב באלגנטיות בעזרת דרך קומבינטורית או בעזרת התבוננות בנוסחא (x+1) בחזקת n+1 (פעם אחת לפתוח אותה לפי בינום ניוטון ופעם נוספת לפתוח אותה בעזרת x+1 כפול x+1 בחזקת n ולפתוח את x+1 בחזקת n בעזרת בינום ניוטון ולהשוות איבר איבר).
כעת:
נוכיח כי לכל n טבעי מתקיים כי לכל k בין 1 ל-n הנוסחא n מעל k היא מס' טבעי.
עבור n = 1,2 נבדוק ישירות.
נוכיח נכונות עבור n.
נתבונן בנוסחת הבינום כאשר k בין 1 ל-n+1:
1. אם k = n+1 אז לפי הגדרה הביטוי שווה ל-1 וסיימנו.
2. k בין 1 ל-n אז לפי נוסחת פסקל:
C(n+1,l) = C(n,k) + C(n,k-1)
לפי הנחת האינדוקציה שני הביטויים טבעיים ולכן סכומם טבעי.מש"ל.
גירסת הדפסה
סגן המנהל
מפקח
Winner
צל"ש
מומחה
