מהתרגילים מהסוג הזה אתה בד"כ משתמש בכלל לפיו כל סדרה חסומה ומונוטונית (עולה או יורדת) מתכנסת, שזה כלל ידוע שאתה אמור כבר לזמר אותו בשלב הזה. בד"כ גם בתרגילים האלה ההוכחה אלמנטרית באינדוקציה. אתה כל פעם מחסיר איבר קטן יותר, ולכן הסדרה עולה. קל לראות שהיא חסומה על ידי 3. חסימות ממש קל, אז אני אוכיח לך מונוטוניות עולה:
בסיס האינדוקציה n = 2:
a1 = 1
a2 = 2
a2 > a1
צעד האינדוקציה - נניח נכון עבור כל k<=n ויהי n+1:
an+1 = (3 - 1/an)
Now: an > an-1 לפי הנחת האינדוקציה
Hence: (3-1/an) > (3-1/an-1) = an
-->
an+1 > an
באינדוקציה מראים גם חסימות מלמעלה על ידי 3.
כעת מה נותר לעשות?
אמרנו כי כל סדרה מונוטונית חסומה היא מתכנסת, אם היא מתכנסת אז ברור ש-:
L = lim an+1 = lim an, ולכן:
lim an+1 = lim (3-1/an) = 3 - 1/lim an
-->
L = 3 - 1/L
ופותרים.
זה כל הסיפור. זה ממש קל ואתה לא צריך להסתבך עם זה כל פעם מחדש. פשוט תבין את זה.
גירסת הדפסה
סגן המנהל
מפקח
Winner
צל"ש
מומחה
