רוטר - בעייה נחמדה במתמטיקה (קומבינטוריקה).

יומן פעילות	לוח שנה	מבזקי חדשות	תקנון	RSS	כותרות	כותרות לפי תגובה	ניקוי קוקיז	IP	להורדת אפליקציה
eBay	AliExpress	GearBest	Amazon	Booking	Kiwi	SkyScanner	Trip Advisor

"בעייה נחמדה במתמטיקה (קומבינטוריקה)."

גירסת הדפסה

קבוצות דיון לימודים, מדע ותרבות נושא #12736	מנהל סגן המנהל מפקח Winner צל"ש מומחה

אשכול מספר 12736

IcqBoy

21:42 13.03.08

בעייה נחמדה במתמטיקה (קומבינטוריקה).

ערכתי לאחרונה בתאריך 13.03.08 בשעה 21:42 בברכה, IcqBoy

האמת נתקלתי בשאלה הנחמדה הזאת, לפעמים היא מנוסחת באולימפיאדות למתמטיקה.
בכל אופן, השאלה היא כזאת:
נתונה קבוצה של n נקודות במישור באופן כזה שאין שלוש נקודות (וכמובן גם יותר) על אותו ישר.
סעיף א' רק כדי להכניס אתכם לחשיבה:
כמה ישרים שונים ניתן להעביר דרכן?
סעיף ב' הסעיף המאתגר:
מהו מספר נקודות החיתוך המרבי של ישרים אלו, מלבד n הנקודות המקוריות?

דוגמא עבור n=4:
http://rotter.name/User_files/nor/47d983a05c1bd8e2.jpg

שתף

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

האשכול	מחבר	תאריך כתיבה	מספר
בא' עושים סכום של סדרה חשבונית מ1 עד n-1	ReXton	13.03.08 22:16	1
התשובה שלך נכונה אם כי לא קומבינטורית.	IcqBoy	14.03.08 00:54	2
לא יאומן, פיזיקאים, מתמטיקאים-בסה''כ בעייה קומבינטורית.	IcqBoy	18.03.08 20:59	3
סעיף א	Benayoun15	18.03.08 21:59	4
סעיף א' מדוייק.	IcqBoy	18.03.08 22:03	5
טוב, את סעיף א' אפשר לסגור ...	IcqBoy	18.03.08 22:05	6
משום מה יש לי אינטואיציה שזה:	Zutta	19.03.08 02:24	7
הממ גם אם זה נכון, אז איפה ההסבר?	IcqBoy	19.03.08 02:55	8
ערכתי אשמח אם תסתכל,	Zutta	19.03.08 03:06	9
לא בידיוק, אבל אתה בכיוון ...	IcqBoy	19.03.08 03:17	10
אני אפרט גם יותר ...	IcqBoy	19.03.08 03:19	11
עוד ניסיון,	Zutta	19.03.08 03:36	12
יכול להיות שזה נכון.	IcqBoy	19.03.08 03:47	13
החלק השמאלי זה בעצם נוסחה שמתבססת על סדרות...	Zutta	19.03.08 03:54	14
לפני שהלכתי לישון, החלטתי כן להסתכל על זה.	IcqBoy	19.03.08 04:03	15
בוקר טוב, אני ארשום לך אגב את הגישה שלי.	IcqBoy	19.03.08 11:39	16

ReXton

22:16 13.03.08

1. בא' עושים סכום של סדרה חשבונית מ1 עד n-1
בתגובה להודעה מספר 0

ערכתי לאחרונה בתאריך 13.03.08 בשעה 22:50 בברכה, ReXton

עם d=1
וב' ציירתי מN=1 עד N=6 אבל אני לא מצליח למצוא נוסחא...
הקטע שאני לא בטוח אם הציורים שלי טובים, ז"א אולי אם הייתי מצייר את זה אחרת היה ניתן לקבל יותר נקודות חיתוך.

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

IcqBoy

00:54 14.03.08

2. התשובה שלך נכונה אם כי לא קומבינטורית.
בתגובה להודעה מספר 1

התשובה שלך לסעיף א' היא אכן נכונה והוא בסה"כ סעיף פשוט.
אבל כל השאלה מבוססת על קומבינטוריקה וגם ככה לא קלה, ולכן כדי לקבל נוסחא טובה תצטרך להשתמש בקומבינטוריקה (ואם לא, אז גם אני אופתע).
בכל מקרה, התשובה שלך לסעיף א' נכונה (קומבינטורית התשובה היא n מעל 2 או n בחר 2).
וכל הכבוד על הניסיון.
לגבי הציור: כפי שאמרתי, תחשוב - זה מעניין ומאתגר.

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

IcqBoy

20:59 18.03.08

3. לא יאומן, פיזיקאים, מתמטיקאים-בסה''כ בעייה קומבינטורית.
בתגובה להודעה מספר 0

אם אף אחד לא מוכן להרים את הכפפה, אז אני לא הולך לגלות לכם את הפתרון

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

Benayoun15
חבר מתאריך 7.6.02
1026 הודעות

21:59 18.03.08

4. סעיף א
בתגובה להודעה מספר 0

דרך קומבינטורית:
n מעל 2
כלומר
n עצרת
חלקי
2 עצרת כפול n-2 עצרת.
צריך לבחר 2 מתוך n.

דרך לא קומבינטורית כמו שאמרו:
סידרה חשבונית
נבחר נק' אקראית
אפשר להעביר איתה ועם שאר הנקודה n-1 ישרים
נבחר עדו נקודה
אפשר להעביר עכשי וn-2 ישרים כי אם נעביר אם הנקודה הקודמת כבר השתמשנו בזה
וכך הלאה עד לנקודה האחרונה
סה"כ סידרה חשבונית מ 1 עד n-1
d=1
צריך לעשות סכום
n-1 איברים
הסכום הוא

Sn = (n-1)*(1+n-1)/2 = n(n-1)/2 = n! / (2! * (n-2)! )
אותה תשובה כמו בדרך הראשונה

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

IcqBoy

22:03 18.03.08

5. סעיף א' מדוייק.
בתגובה להודעה מספר 4

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

IcqBoy

22:05 18.03.08

6. טוב, את סעיף א' אפשר לסגור ...
בתגובה להודעה מספר 0

התשובה היא n מעל 2.
כל שתי נקודות קובעות ישר יחיד, ולכן יש בידיוק n מעל 2 ישרים כאלו.

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

Zutta
חבר מתאריך 1.3.08
1170 הודעות

02:24 19.03.08

7. משום מה יש לי אינטואיציה שזה:
בתגובה להודעה מספר 0

ערכתי לאחרונה בתאריך 19.03.08 בשעה 02:59 בברכה, Zutta

(n-2 על 2) כפול (n-1)
אבל יכול להיות שאני סתם הוזה לא היה לי כח לבדוק ^^
עריכה:
הוספתי גם משהו אחרי חישוב אבל גם אותו לא ממש היה לי כח לבדוק, אני אסביר איך הגעתי אם זה נכון :

http://rotter.name/User_files/nor/47e065640be5248f.jpg

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

IcqBoy

02:55 19.03.08

8. הממ גם אם זה נכון, אז איפה ההסבר?
בתגובה להודעה מספר 7

ולמען הסר ספק - זה לא.
אם כי אשמח מאוד לדעת את מה שעומד מאחורי זה.

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

Zutta
חבר מתאריך 1.3.08
1170 הודעות

03:06 19.03.08

9. ערכתי אשמח אם תסתכל,
בתגובה להודעה מספר 8

והלכתי בערך לפי זה שכל ישר חותך n-2 על 2 ישרים במקסימום

ובדרך השניה תאמת הלכתי לפי כמה נק' חתיכה יש במקסימום, ואז להוריד את נק' החתיכה של הקודקודים.

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

IcqBoy

03:17 19.03.08

10. לא בידיוק, אבל אתה בכיוון ...
בתגובה להודעה מספר 9

תסתכל טוב על השאלה ותבין מה קורה שם למעשה.
אגב - נעים להכיר אותך.
אני רואה שאתה חדש פה.

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

IcqBoy

03:19 19.03.08

11. אני אפרט גם יותר ...
בתגובה להודעה מספר 9

ערכתי לאחרונה בתאריך 19.03.08 בשעה 03:35 בברכה, IcqBoy

כל ישר חותך n-2 על 2 ישרים במקסימום? איך הגעת לזה?
וחלוקה בשניים? גם לא מבין מאיפה היא הגיעה.

בכל מקרה, תחשוב על זה קצת. אני מבטיח מחר בערב לעבור על התשובות שלך. בהצלחה

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

Zutta
חבר מתאריך 1.3.08
1170 הודעות

03:36 19.03.08

12. עוד ניסיון,
בתגובה להודעה מספר 11

http://rotter.name/User_files/nor/47e06dd017a323f8.jpg

והחלקי 2 הגיע מהנוסחה n(n-1)/2

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

IcqBoy

03:47 19.03.08

13. יכול להיות שזה נכון.
בתגובה להודעה מספר 12

החיסור שלך נכון.
אני לא בטוח לגבי הביטוי הראשון כי אני רשמתי אותו בצורה קצת שונה ואני צריך לעבוד עם זהויות קומבינטוריות.

אנא ממך תסביר איך הגעת לזה? מחר אני אתן לך תשובה סופית.
ליל"ט

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

Zutta
חבר מתאריך 1.3.08
1170 הודעות

03:54 19.03.08

14. החלק השמאלי זה בעצם נוסחה שמתבססת על סדרות...
בתגובה להודעה מספר 13

בעצם מס' נק' החיתוך הוא :
n-1 + n-2 + n-3... n-n
Sn= (a1+an)*n/2 = (n-1)(n)/2
כאשר במקום n במקרה שלנו מדובר ב (n על 2)
אנחנו מציבים במקום n את (n על 2)
ומקבלים את מה שיצא לי בצד שמאל.

לילה טוב.

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

IcqBoy

04:03 19.03.08

15. לפני שהלכתי לישון, החלטתי כן להסתכל על זה.
בתגובה להודעה מספר 14

הגישה שלך נהדרת.

יפה מאוד.

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד

IcqBoy

11:39 19.03.08

16. בוקר טוב, אני ארשום לך אגב את הגישה שלי.
בתגובה להודעה מספר 14

אני ניגשתי לזה בצורה קצת שונה:
אמרתי שיש n מעל 2 ישרים והישרים נחתכים ב-(n מעל 2) מעל 2 נקודות.
אך כמו כן, יש לחסר את n הנקודות הקיימות שנחתכות עם n-1 מעל 2 הישרים.
כלומר:
http://rotter.name/User_files/nor/47e0df3d1eb8e2cd.jpg

כל הכבוד על הפיתרון ומצפה לראות אותך עוד.

(ניהול: מחק תגובה)

מכתב זה והנלווה אליו, על אחריות ועל דעת הכותב בלבד