נסמן
A1V1+...+AiVi+Ai+1Vi+1+...+AkVk=0
כך ש-A1,...,Ak שייכים ל-F (השדה שמעליו מוגדר V)
ונראה שבהכרח A1=...=Ak=0.

נסמן את הסכום כ-
u+w=0
כך ש
u=A1V1+...+AiVi
w=Ai+1Vi+1+...+AkVk
(פיצלתי את הסכום)

u שייך ל-U כי הוא צ"ל של וקטורים ב-U.
w שייך ל-W מאותה סיבה.

מתקיים u+w=0, וע"פ משפט V.19 (בוחן שני לסכום ישר) - זה משפט מהספר של הקורס אצלנו - ההצגה היחידה של וקטור ה-0 כסכום וקטור מ-U ווקטור מ-W היא 0+0=0.

לכן u=0 ואז A1=...=Ai=0 (כי S בת"ל).
באותה מידה w=0 ואז Ai+1=...=Ak=0.