מוטיבציה:
http://i.imgur.com/68lvdsW.png

כיוון אחד (טריוויאלי): נתון: A∪B) ⊆C; צ"ל: B⊆C וגם A⊆C
יהי x1 שייך ל-A ויהי x2 שייך ל-B ונראה: x1 שייך ל-C וגם x2 שייך ל-C.
x1 וגם x2 שייכים ל-A∪B ומהנתון עולה כי x1 וגם x2 שייכים ל-C. וקיבלנו כי
B⊆C וגם A⊆C כדרוש.

כיוון שני: נתון B⊆C וגם A⊆C; צ"ל A∪B) ⊆C
אם A∪B = הקבוצה הריקה - סיימנו כי הקבוצה הריקה מוכלת בכל קבוצה.

אם A∪B != הקבוצה הריקה:
יהי x שייך ל-A∪B, אזי x שייך ל-A או x שייך ל-B (או גם וגם אבל זה לא רלוונטי).
אם x שייך ל-A אזי מהנתון A⊆C וקיבלנו A∪B) ⊆C
אם x שייך ל-B אזי מהנתון B⊆C וקיבלנו A∪B) ⊆C
וקיבלנו כי אם B⊆C וגם A⊆C אזי A∪B) ⊆C כדרוש.

לסיכום מהוכחת שני הכיוונים קיבלנו (A∪B) ⊆C אם ורק אם B⊆C וגם A⊆C כדרוש. מש"ל.